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Áreas de Polígonos en el plano

En la entrada anterior habíamos abordado el tema del perímetro de figuras en el plano. Ahora explicaremos la forma en la que podemos obtener el área de dichas figuras en un sistema cartesiano.

Si contamos con las coordenadas de los vértices de un polígono en un plano cartesiano, el área del mismo se obtiene a través de las fórmulas que tradicionalmente usamos en Geometría, teniendo en cuenta que la magnitud de sus lados serán obtenidos mediante la fórmula de distancia entre dos puntos en un plano.

Ejemplo 1

Calcule el área del cuadrado cuyos vértices tienen las coordenadas A(1,3), B(7, 3), C(7,9), D(1, 9).

Como se puede apreciar en la imagen, los cuatro segmentos de recta que forman el cuadrado son:

\bar{AB}, \bar{BC},  \bar{CD}, \bar{AD}

por lo cual debemos calcular la distancia entre dos puntos de cada segmento, (✏️ se sugiere revisar el post que explica el detalle paso a paso de la fórmula)

Una vez obtenida la distancia de cada uno de los extremos, tenemos que:

Distancia de cada extremo

\bar{AB}= 6 unidades

\bar{BC}=6 unidades

\bar{CD}= 6 unidades

\bar{AD}= 6 unidades

Recordemos que el área del cuadrado es:

Area= lado*lado

Area= \bar{AB} * \bar{BC}

Area= 6 * 6 unidades cuadradas

Area= 36 unidades cuadradas

 

Ejemplo 2

Calcule el área del rectángulo vértices tienen las coordenadas A(-2,3), B(-2, -2), C(12, -2), D(12, 3).

Como se puede apreciar en la imagen, los cuatro segmentos de recta que forman el rectángulo son:

\bar{AB}, \bar{BC},  \bar{CD}, \bar{AD}

por lo cual debemos calcular la distancia entre dos puntos de cada segmento, (✏️ se sugiere revisar el post que explica el detalle paso a paso de la fórmula)

Una vez obtenida la distancia de cada uno de los extremos, tenemos que:

Distancia de cada extremo

\bar{AB}= 5 unidades

\bar{BC}= 14 unidades

\bar{CD}= 5 unidades

\bar{AD}= 14 unidades

Recordemos que el área del rectángulo se obtiene:

Area=  base*altura

Area= \bar{BC} * \bar{CD}

Area= 14 * 5 unidades cuadradas

Area= 70 unidades cuadradas

 

Ejemplo 3

Calcule el área del triángulo cuyos vértices tienen las coordenadas A(2,3), B(-4,1), C(6, 2).

Como se puede apreciar en la imagen, los tres segmentos de recta que forman el triángulo son:

\bar{AB}, \bar{BC},  \bar{AC}

por lo cual debemos calcular la distancia entre dos puntos de cada segmento, (✏️ se sugiere revisar el post que explica el detalle paso a paso de la fórmula)

Una vez obtenida la distancia de cada uno de los extremos, tenemos que:

Distancia de cada extremo

\bar{AB}= 6.32 unidades

\bar{BC}=10.05 unidades

\bar{AC}= 4.12 unidades

Para el caso del triángulo, ocuparemos la Fórmula de Herón para obtener el área, la cual nos dice que 

Area=\sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}

y en la que a,b y c son los lados del triángulo (acabamos de obtenerlos) y s es el semiperímetro del triángulo:

s=\frac{a+b+c}{2}

En nuestro caso:

s=\frac{10.05+4.12+6.32}{2}

s=\frac{20.49}{2}

s=10.24

Reemplazando en la Fórmula de Herón:

Area=\sqrt{10.24\left(10.24-10.05\right)\left(10.24-4.12\right)\left(10.24-6.32\right)}

Area=\sqrt{10.24\left(0.19\right)\left(6.12\right)\left(3.92\right)}

Area=\sqrt{46.675} unidades cuadradas

Area=6.83  unidades cuadradas

 


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