División de un segmento en una Recta (Determinar la razón)

División de un segmento en una Recta (Determinar la razón)

Anteriormente habíamos abordado el tema del punto medio en un segmento de recta, ahora veremos que un punto dentro (o incluso fuera) del segmento puede no estar precisamente a la mitad de la recta, sino en cualquier otra posición.

En este post explicaremos el cómo podemos determinar la razón de un segmento de recta.

Sea un segmento de recta con extremos A(x1, y1) y B(x2,y2), llamaremos al punto P(x, y) aquel punto que divide al segmento AB. La razón r puede obtenerse de dos maneras, trabajando con las coordenadas en X:

r=\frac{AP}{PB}=\frac{x-x_1}{x_2-x}

O trabajando con las coordenadas en Y:

r=\frac{AP}{PB}=\frac{y-y_1}{y_2-y}

⚠️ IMPORTANTE

Es importante el orden en el que elegimos a los extremos A(x1, y1) y B(x2,y2), como se puede apreciar en la imagen anterior el segmento AP es más grande que el segmento PB, por lo que al efectuar la razón ésta nos dirá que tan proporcional es el segmento grande respecto al segmento chico. (Si hubiéramos elegido en orden inverso a los extremos la razón nos diría que tan proporcional es el segmento chico respecto al segmento grande).

 

Ejemplo 1

Sea el segmento de recta con extremos A(-2, 5) y B(4,11), determine la razón en la que el punto P(1, 8) divide a la recta.

Lo primero que debemos hacer es identificar los datos que tenemos, recordando que A(x1, y1) ,  B(x2,y2) y P(x, y). Entonces:

x1=  -2    y1=  5        x2=  4    y2=  11    x=  1   y=  8

Como explicamos anteriormente, podemos ocupar la fórmula con los valores de X ó la fórmula con los valores de Y, en ambos casos nos deberá de dar el mismo resultado:

Con la Fórmula de X:
r=\frac{AP}{PB}=\frac{x-x_1}{x_2-x}=\frac{1--2}{4-1}=\frac{1+2}{3}=\frac{3}{3}=1

Con la Fórmula de Y:
r=\frac{AP}{PB}=\frac{y-y_1}{y_2-y}=\frac{8-5}{11-8}=\frac{3}{3}=1

En ambos casos la razón es 1.

 

Ejemplo 2

Sea el segmento de recta con extremos A(4, 9) y B(18,16), determine la razón en la que el punto P(6, 10) divide a la recta.

Lo primero que debemos hacer es identificar los datos que tenemos, recordando que A(x1, y1) ,  B(x2,y2) y P(x, y). Entonces:

x1=  4    y1=  9        x2=  18    y2=  16    x=  6   y=  10

Como explicamos anteriormente, podemos ocupar la fórmula con los valores de X ó la fórmula con los valores de Y, en ambos casos nos deberá de dar el mismo resultado:

Con la Fórmula de X:
r=\frac{AP}{PB}=\frac{x-x_1}{x_2-x}=\frac{6-4}{18-6}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}

Con la Fórmula de Y:
r=\frac{AP}{PB}=\frac{y-y_1}{y_2-y}=\frac{10-9}{16-10}=\frac{1}{6}

En ambos casos la razón es  \frac{1}{6} .

 

 

Ejemplo 3

Sea el segmento de recta con extremos A(0, 12) y B(10,20), determine la razón en la que el punto P(9, 19.2) divide a la recta.

Lo primero que debemos hacer es identificar los datos que tenemos, recordando que A(x1, y1) ,  B(x2,y2) y P(x, y). Entonces:

x1=  0    y1=  12        x2=  10    y2=  20    x=  9   y=  19.2

Como explicamos anteriormente, podemos ocupar la fórmula con los valores de X ó la fórmula con los valores de Y, en ambos casos nos deberá de dar el mismo resultado:

Con la Fórmula de X:
r=\frac{AP}{PB}=\frac{x-x_1}{x_2-x}=\frac{9-0}{10-9}=\frac{9}{1}=9

Con la Fórmula de Y:
r=\frac{AP}{PB}=\frac{y-y_1}{y_2-y}=\frac{19.2-12}{20-19.2}=\frac{7.2}{0.8}=9

En ambos casos la razón es  9.

 


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