División de un segmento de Recta (Encontrar el punto de división)

En la entrada pasada estuvimos hablando de la división de un segmento de Recta y el cómo podíamos determinar su razón.

Ahora en este post vamos a determinar el Punto de división (P) a partir de conocer los extremos del segmento de recta y su razón.

Sea un segmento de recta con extremos A(x₁,y₁) y B(x₂,y₂) que lo divide un Punto de división P con razón r, las coordenadas del punto P son:

$latex P\left(\frac{x_1+rx_2}{1+r},\frac{y_1+ry_2}{1+r}\right)&s=4$

⚠️ IMPORTANTE

Recuerde que es importante el orden en el que elegimos a los extremos  A(x₁,y₁) y B(x₂,y₂). Ya que la razón nos dice qué tan proporcional es el segmento grande respecto al segmento chico. (Si hubiéramos elegido en orden inverso a los extremos la razón nos diría que tan proporcional es el segmento chico respecto al segmento grande).

Ejemplo 1

Sea el segmento de recta con extremos A(5,3) y B(2,4). Determine el Punto de División P que divide a la recta en la razón= 4.

Lo primero que debemos hacer es identificar los datos que tenemos, recordando que A(x₁,y₁) ,  B(x₂,y₂)  y razón=4. Entonces:

x₁=  5    y₁=  3        x₂=  2    y₂=  4     razón  (r)=4

Reemplazamos los datos en la fórmula

$latex P\left(\frac{x_1+rx_2}{1+r},\frac{y_1+ry_2}{1+r}\right)&s=4$

$latex P\left(\frac{5+4*2}{1+4},\frac{3+4*4}{1+4}\right)&s=4$

$latex P\left(\frac{5+8}{5},\frac{3+16}{5}\right)&s=4$

$latex P\left(\frac{13}{5},\frac{19}{5}\right)&s=4$

 

Ejemplo 2

Sea el segmento de recta con extremos A(-4,2) y B(0,6). Determine el Punto de División P que divide a la recta en la razón= 2.

Lo primero que debemos hacer es identificar los datos que tenemos, recordando que A(x₁,y₁) ,  B(x₂,y₂)  y razón=2. Entonces:

x₁=  -4    y₁=  2        x₂=  0    y₂=  6     razón  (r)=2

Reemplazamos los datos en la fórmula

$latex P\left(\frac{x_1+rx_2}{1+r},\frac{y_1+ry_2}{1+r}\right)&s=4$

$latex P\left(\frac{-4+2*0}{1+2},\frac{2+2*6}{1+2}\right)&s=4$

$latex P\left(\frac{-4+0}{3},\frac{2+12}{3}\right)&s=4$

$latex P\left(\frac{-4}{3},\frac{14}{3}\right)&s=4$

Ejemplo 3

Sea el segmento de recta con extremos A(5,1) y B(3,4). Determine el Punto de División P que divide a la recta en la razón= 8.

Lo primero que debemos hacer es identificar los datos que tenemos, recordando que A(x₁,y₁) ,  B(x₂,y₂)  y razón=8. Entonces:

x₁=  5    y₁=  1        x₂=  3    y₂=  4     razón  (r)=8

Reemplazamos los datos en la fórmula

$latex P\left(\frac{x_1+rx_2}{1+r},\frac{y_1+ry_2}{1+r}\right)&s=4$

$latex P\left(\frac{5+8*3}{1+8},\frac{1+8*4}{1+8}\right)&s=4$

$latex P\left(\frac{5+24}{9},\frac{1+32}{9}\right)&s=4$

$latex P\left(\frac{29}{9},\frac{33}{9}\right)&s=4$